Ні, не потрібно повідомляти.
Якщо після закінчення строку трудового договору трудові відносини фактично тривають i жодна зі сторін не вимагає їх припинити, договір вважають продовженим на невизначений строк (ч. 1 ст. 39-1 КЗпП).
Оскільки дія трудового договору продовжується, повідомлення до ДПС не подавайте.
Із консультації «Як скласти повідомлення в податкову про прийняття на роботу»
